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- Title
Spherical Couette flow of Oldroyd 8-constant model. Part II. Third-order approximation and the stream function Ψ<sup>(3)</sup>.
- Authors
Abu-El Hassan, A.
- Abstract
In the previous work, Part I, Abu-El Hassan (Can. J. Phys.84, 345 (2006)), the steady flow of an incompressible Oldroyd 8-constant fluid in the annular region between two concentric spheres is investigated up to the second-order approximation. Hence, the normalized second-order velocity field, V is seen to be V = W(0)[IMG]+λU[IMG](1)+λ(2)W(2)[IMG]+O(λ3) with U[IMG](1) = –[IMG][IMG](Ψ(1)}/r sin θ) = [IMG]U(1) + [IMG]V(1). The leading velocity term represents the Newtonian flow in the φ-direction, while the first-order term denoted by the stream function Ψ(1)(r,θ), produces a secondary flow field that divides the flow region into four parts symmetric about the z-axis, which is the axis of rotation. The second-order approximation gives a viscoelastic contribution W(2)(r,θ) in the φ-direction. λ is the retardation time parameter. The present work is devoted to the solution of the third-order approximation of the same problem treated in Abu-El Hassan (Can. J. Phys. 84, 345 (2006)). The solution produces a stream function Ψ(3)(r, θ), which being a secondary flow field divides the domain of flow into two similar regions symmetric about an axis perpendicular to the axis of rotation. The streamlines Ψ(3)(r,θ) = const. are sketched for Maxwell, Oldroyd-B, and Oldroyd-8 constant model fluids, respectively. The results show that the distribution of flow for these fields is mainly affected by the values of the field's elastic parameters.PACS No.: 47.15.Rq Dans un travail précédent, Partie I, Abu-El Hassan (Can. J. Phys. 84, 345 (2006)), nous étudions au deuxième ordre le flot stationnaire d'un fluide incompressible d'Oldroyd à 8 paramètres dans la région annulaire entre deux sphères concentriques. Ainsi, le champ de vitesse normalisé au second ordre est V = W(0)[IMG]+λU[IMG](1)+λ(2)W(2)[IMG]+O(λ3) et U[IMG](1) = –[IMG][IMG](Ψ(1)/r sin θ) = [IMG]U(1) + [IMG]V(1). Le terme dominant de la vitesse représente le flot newtonien dans la direction φ, alors que le terme au premier ordre, dénoté par la fonction de flot Ψ(1)(r, θ), produit un champ de flot secondaire qui divise la région de flot en quatre parties symétriques autour de l'axe z qui est l'axe de rotation. L'approximation du deuxième ordre donne une contribution de viscoélasticité W(2)(r, θ) dans la direction φ et λ est le paramètre de retard temporel. Ici, nous nous penchons sur la solution au troisième ordre du même problème qu'en Abu-El Hassan (Can. J. Phys. 84, 345 (2006)). La solution produit une fonction de flot Ψ(3)(r, θ), un flot secondaire qui divise le domaine en deux régions similaires symétriques par rapport à un axe perpendiculaire à l'axe de rotation. Nous illustrons les lignes de flot, Ψ(3)(r, θ) = constante, pour des fluides modèles de Maxwell, Oldroyd-B et Oldroyd à 8 paramètres. Les résultats montrent que la distribution de flot pour ces champs est surtout contrôlée par la valeur de leurs paramètres élastiques.[Traduit par la Rédaction]
- Subjects
FLOWS (Differentiable dynamical systems); SPHERICAL harmonics; FUNCTIONAL analysis; DIFFERENTIABLE dynamical systems; SPHERICAL functions; APPROXIMATION theory; MATHEMATICAL functions; SPEED
- Publication
Canadian Journal of Physics, 2008, Vol 86, Issue 9, p1109
- ISSN
0008-4204
- Publication type
Article
- DOI
10.1139/P08-044